Exemplo 0 - Mostrar que 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^n+1 - 1

Base: quando n=0 temos \sum_i=0^n 2^i = 2^0 = 1 = 2^(0+1) - 1 = 2^(n+1) - 1

H.I.: \sum_i=0^n-1 2^i = 2^n - 1

Passo: \sum_i=0^n 2^i = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n
                      = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) + 2^n
					  = 2^n - 1 + 2^n
					  = 2*2^n - 1
					  = 2^(n+1) - 1



Na demonstração por indução queremos provar que:
 - uma propriedade P 
 - associada a um parâmetro n
 - vale para todo n natural
 
Para tanto seguimos a seguinte estrutura:

Base: mostramos que P(1) vale.

H.I.: supomos que P(n-1) vale.

Passo: mostramos que P(n) vale a partir da Hipótese de Indução (H.I).



Exemplo 1 - Mostrar que a soma dos n primeiros naturais ímpares é n^2

Base: quando n = 1 temos \sum_i=1^n 2(i-1)+1 = 1 = 1^2 = n^2

H.I.: \sum_i=1^n-1 2(i-1)+1 = (n-1)^2

Passo: \sum_i=1^n 2(i-1)+1 = \sum_i=1^n-1 2(i-1)+1 + 2(n-1)+1
                           = (n-1)^2 + 2n-2+1
						   = n^2 - 2n + 1 + 2n - 1
						   = n^2



Exemplo 2 - Mostrar que para naturais x e n, x^n - 1 é divisível por x - 1.

Base: quando n = 1 temos x^n - 1 = x^1 - 1 = x - 1

H.I.: x^(n-1) - 1 é divisível por x - 1, ou seja, existe um inteiro k tal que x^(n-1) - 1 = k * (x - 1)

Passo: x^n - 1 = x * x^(n-1) - 1
               = x * x^(n-1) - 1 + x * (-1) - x * (-1)
			   = x * x^(n-1) - x - 1 + x
			   = x * (x^(n-1) - 1) + (x - 1)
			   = x * (k * (x - 1)) + (x - 1)
			   = (x * k + 1) * (x - 1)



Exemplo 3 - Mostrar que (1 + x)^n >= 1 + nx para todo natural n e real x tal que 1 + x > 0.

Base: quando n = 1 temos (1 + x)^n = (1 + x)^1 = 1 + x = 1 + nx

H.I.: (1 + x)^(n-1) >= 1 + (n-1)x

Passo: (1 + x)^n = (1 + x)*(1 + x)^(n-1)
                 >= (1 + x)*(1 + (n-1)x)
				 = 1 + (n-1)x + x + (n-1)x^2
				 = 1 + nx



Exemplo 4 - Mostrar que o número de regiões do plano cortado por n retas em posição geral é T_n = n(n+1)/2 + 1
Obs: um conjunto de retas está em posição geral se nenhum par de retas é paralelo e três ou mais retas não se cruzam num mesmo ponto.

Base: quando n = 1 temos T_1 = 1(1+1)/2 + 1 = 2

H.I.: T_n = n(n+1)/2 + 1

Passo: T_n+1 = n(n+1)/2 + 1 + (n + 1)
             = n(n+1)/2 + 1 + 2(n + 1)/2
             = (n+2)(n+1)/2 + 1



Exemplo 5 - Mostrar que o S_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n < 1

Base: quando n = 1 temos S_1 = 1/2^1 = 1/2 < 1

H.I.: S_n < 1

Passo: S_n+1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n + 1/2^n+1
             = 1/2 + 1/2 * (1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n-1 + 1/2^n)
			 < 1/2 + 1/2 * 1
			 = 1